PANGKAT , AKAR , LOGARITMA , FUNGSI , KOMPOSISI FUNGSI , DAN INVERS FUNGSI, LIMIT FUNGSI DAN INTEGRAL

Rumus Bentuk Pangkat, Akar, dan Logaritma

a. Bentuk Pangkat
1). Jika n bilangan bulat positif dan a bilangan real maka a pangkat n didefinisikan sebagai berikut :
      
      Pengertian pangkat tersebut diperluas, yaitu untuk     berlaku :
      
      
2). Sifat-sifat pengerjaan hitung bilangan berpangkat
      
      
      
      
      

b. Bentuk Akar
1). Jika a dan b bilangan real serta n bilangan bulat positif, maka :
      
      
2). Sifat-sifat bentuk akar.
      
      
      
      
      
      
3). Merasionalkan penyebut pecahan bentuk akar
      
     
                           

c. Logaritma
1). Jika a dan b bilangan positif dengan    maka berlaku :
      
      Dari hubungan tersebut, diperoleh :
      
      
      
2). Sifat-sifat logaritma
      
      
      
      
      

a.       matrik

matrik dalam matematika merupakan kumpulan bilangan, simbol atau ekspresi berbentuk persegi panjang yang disusun menurut baris dan kolom. Bilangan-bilangan yang terdapat pada suatu matriks disebut dengan elemen atau disebut juga anggota dari suatu matriks. Contoh matriks dengan 2 baris dan 3 kolom yaitu sebagai berikut

Matriks banyak dimanfaatkan untuk menyelesaikan berbagai permasalahan matematika misalnya dalam menemukan solusi masalah persamaan linear, transformasi linear yakni bentuk umum dari fungsi linear contohnya rotasi dalam 3 dimensi. Matriks juga seperti variabel biasa, sehingga matrikspun dapat dimanipulasi misalnya dikalikan, dijumlah, dikurangkan, serta didekomposisikan. Menggunakan representasi matriks, perhitungan dapat dilakukan dengan lebih terstruktur.

adversitemens

Operasi Dasar Matriks :

1. Penjumlahan dan Pengurangan Matriks

Penjumlahan serta pengurangan dalam matriks hanya dapat dilakukan apabila kedua matriks mempunyai ukuran atau tipe yang sama. Elemen-elemen dalam suatu matriks yang dijumlahkan atau dikurangan yaitu elemen yang memilki posisi/letak  yang sama.

representasi dekoratifnya sebagai berikut

2. Perkalian Skalar

Perkalian matriks dilakukan dengan cara tiap baris dikalikan dengan tiap kolom, selanjutnya dijumlahkan pada kolom yang sama

 dan 

maka 

contoh perhitungan :

Ordo suatu matriks merupakan bilangan yang menunjukan banyaknya baris (m) dan banyaknya kolom (n). Sebagai contoh :  merupakan matriks berordo 3×2

Matriks Identitas

Matriks Identitas adalah matriks yang anggota pada diagonal utamanya selalu 1

Matriks Transpose (A^t)

Matriks transpose merupakan matriks yang mengalami pertukaran elemen dari kolom menjadi baris atau sebaliknya. Contoh :

maka matriks transposenya (A^t) adalah 

Contoh – contoh :

1. Kesamaan Dua Matriks

Tentukan nilai 2x-y+5z!

Jawab:

 maka 

 maka 

 maka 

2. 

3. Contoh Perkalian matriks dengan variabel

4. 

Determinan Suatu Matriks

Untuk menentukan determinan dari suatu matriks dapat digunakan beberapa cara :

1. Misalnya terdapat matriks  yang berordo 2×2 dalam menentukan determinan dari matrikas A yang biasa ditulis |A| adalah

2. Metode Sarrus

Misalnya terdapat  maka untuk menentukan nilai determinan dari matriks A tersebut

Ubah matriks dalam bentuk seperti diatas selanjutnya perhitungannya dengan cara menambahkan elemen dari kiri atas kekanan bawah (mulai dari a → e → i, b → f → g, dan c → d → h) kemudian dikurangi dengan elemen dari kanan atas kekiri bawah (mulai dari c → e → g, a → f → h, dan b → d → i) maka akan menjadi

Sebagai contohnya

maka tentukan 

3. Metode Ekspansi Baris dan Kolom

Jika diketahui  maka untuk menentukan determian dari matriks P

Matriks Singular

Matriks Singular yaitu matriks yang nilai determinannya 0.

Sebagai contoh

Jika A matriks singular, tentukan nilai x!

Jawab:

 vs 

Invers Matriks

Misalnya diketahui   maka invers dari matriks A

Sifat-sifat dari invers suatu matriks :

Persamaan Matriks

Tentukan X matriks dari persamaan:

·         Jika diketahui matriks A.X=B

·         Jika diketahui matriks X.A=B

Integral adalah sebuah konsep penjumlahan secara berkesinambungan dalam matematika, dan bersama dengan inversnya,diferensiasi, adalah satu dari dua operasi utama dalam kalkulus. Integral dikembangkan menyusul dikembangkannya masalah dalam diferensiasi di mana matematikawan harus berpikir bagaimana menyelesaikan masalah yang berkebalikan dengan solusi diferensiasi. Lambang integral adalah {\displaystyle \int \,}

Bila diberikan suatu fungsi f dari variabel real x dengan interval [a, b] dari sebuah garis lurus, maka integral tertentu

{\displaystyle \int _{a}^{b}\!f(x)\,dx\,}

didefinisikan sebagai area yang dibatasi oleh kurva f, sumbu-x, sumbu-y dan garis vertikal x = a dan x = b, dengan area yang berada di atas sumbu-x bernilai positif dan area di bawah sumbu-x bernilai negatif.

Kata integral juga dapat digunakan untuk merujuk pada antiturunan, sebuah fungsi F yang turunannya adalah fungsi f. Pada kasus ini, maka disebut sebagai integral tak tentu dan notasinya ditulis sebagai:

{\displaystyle F=\int f(x)\,dx.}

Prinsip-prinsip dan teknik integrasi dikembangkan terpisah oleh Isaac Newton dan Gottfried Leibniz pada akhir abad ke-17. Melaluiteorema fundamental kalkulus yang mereka kembangkan masing-masing, integral terhubung dengan diferensial: jika f adalah fungsi kontinu yang terdefinisi pada sebuah interval tertutup [a, b], maka, jika antiturunan F dari f diketahui, maka integral tertentu dari f pada interval tersebut dapat didefinisikan sebagai:

{\displaystyle \int _{a}^{b}\!f(x)\,dx=F(b)-F(a)\,}

 Pengertian Limit Fungsi. Limit Fungsiyang dimaksud adalah "limit fungsi aljabar" dan "limit fungsi trigonometri" yang akan dibahas pada artikel lainnya. Dalam matematika, limit merupakan nilai hampiran suatu variabel pada suatu bilangan real. Berikut adalah notasi limit. 

Definisi/Pengertian Limit Fungsi

       Berikut definisi/pengertian dari limit fungsi :
Misalkan ff sebuah fungsi f:R→Rf:R→R dan misalkan LL dan aa bilangan real.
limx→af(x)=Llimx→af(x)=L jika dan hanya jika f(x)f(x) mendekati LL untuk semua xx mendekati aa .

Cara Membaca notasi limit fungsi :
limx→af(x)=Llimx→af(x)=L dibaca limit fungsi f(x)f(x) untuk xx mendekati aa sama dengan LL .

Penyelesaian limit fungsi

       Untuk menentukan nilai limit suatu fungsi, ada beberapa cara :
1). Metode Numerik
2). Subsitusi
3). Pemfaktoran
4). Kali sekawannya
5). Menggunakan Turunan

Pada artikel Pengertian limit fungsi ini, kita akan menggunakan metode numerik saja. Metode numerik maksudnya suatu metode penghitungan limit dengan cara substitusi dari ruas kiri dan ruas kanan dengan beberapa angka yang kita daftar dalam bentuk tabel. Hanya saja cara ini kurang efektif karena akan memakan waktu yang lebih lama untuk membuat suatu tabel.

Contoh : 
1). Tentukan nilai limit fungsi f(x)=x+1f(x)=x+1 untuk xx mendekati 2? 
Penyelesaian : 
*). Bentuk soal bisa ditulis : limx→2(x+1)=...?limx→2(x+1)=...? 
*). Dengan metode numerik, kita pilih nilai xx yang mendekati 2 dari kiri dan kanan lalu kita substitusi ke fungsi (x+1)(x+1) , hasilnya terlihat pada tabel berikut. 

*). Dari tabel di atas, terlihat bahwa dari ruas kiri 2, nilai fungsinya mendekati 2,999 . Dan dari ruas kanan 2, nilai fungsinya mendekati 3,001. Ini artinya nilai limit fungsi f(x)=x+1f(x)=x+1 untuk xx mendekati 2 adalah 3. Sehingga nilai limx→2(x+1)=3limx→2(x+1)=3 . 
*). Berikut grafik beserta nilai limitnya. 

Syarat suatu Fungsi Mempunyai Limit di titik tertentu

       Suatu limit dikatakan ada jika limit tersebut memiliki limit kiri dan limit kanan yang sama. Limit kiri adalah pendekatan nilai fungsi real dari sebelah kiri yang dinotasikan limx→a−f(x)limx→a−f(x) . Sedangkan limit kanan adalah pendekatan nilai fungsi real dari sebelah kanan yang dinotasikanlimx→a+f(x)limx→a+f(x) .
Artinya, jika nilai limx→a−f(x)=Llimx→a−f(x)=L dan limx→a+f(x)=Llimx→a+f(x)=L , maka nilai limx→a−f(x)=limx→af(x)=limx→a+f(x)=Llimx→a−f(x)=limx→af(x)=limx→a+f(x)=L atau limx→af(x)=Llimx→af(x)=L . 

Berikut deskripsi ada tidaknya limit suatu fungsi f(x)f(x) untuk xx mendekati cc . 

Dari gambar grafik di atas,
*). Gambar A : mempunyai limit karena limit kiri sama dengan limit kanan.
*). Gambar B : tidak mempunyai limit karena limit kiri tidak sama dengan limit kanan.
*). Gambar C : mempunyai limit karena limit kiri sama dengan limit kanan.
*). Gambar D : tidak mempunyai limit karena limit kiri tidak sama dengan limit kanan.

Contoh : 
2). Apakah fungsi berikut ini mempunyai limit atau tidak : 
f(x)={x2x+1jikajikax≤1x>1f(x)={x2jikax≤1x+1jikax>1 
untuk xx mendekati 1.? 
penyelesaian : 
*). Keterangan fungsi : 
Jika nilai x≤1x≤1 maka berlaku f(x)=x2f(x)=x2 
Jika nilai x>1x>1 maka berlaku f(x)=x+1f(x)=x+1 
*). Tabel pendekatan dari kiri dan dari kanan untuk xx mendekati 1. 

*). Analisa hasil limit kiri dan limit kanan dari tabel. 
Limit Kiri : dari kiri mendekati satu, nilai limitnya mendekati 0,998 = 1 atau limx→1−f(x)=1limx→1−f(x)=1 
Limit Kanan : dari kanan mendekati satu, nilai limitnya mendekati 2,001 = 2 atau limx→1+f(x)=2limx→1+f(x)=2 
Karnena nilai limit kiri dan kananya tidak sama, maka fungsi f(x)={x2x+1jikajikax≤1x>1f(x)={x2jikax≤1x+1jikax>1 untuk xxmendekati 1 tidak mempunyai limit. 
*). Grafik fungsi f(x)f(x) untuk xx mendekati 1. 

Jadi, fungsi f(x)={x2x+1jikajikax≤1x>1f(x)={x2jikax≤1x+1jikax>1 untuk xx mendekati 1 tidak mempunyai limit.

 Rumus Bentuk Pangkat, Akar, dan Logaritma

a. Bentuk Pangkat
1). Jika n bilangan bulat positif dan a bilangan real maka a pangkat n didefinisikan sebagai berikut :
      
      Pengertian pangkat tersebut diperluas, yaitu untuk     berlaku :
      
      
2). Sifat-sifat pengerjaan hitung bilangan berpangkat
      
      
      
      
      

b. Bentuk Akar
1). Jika a dan b bilangan real serta n bilangan bulat positif, maka :
      
      
2). Sifat-sifat bentuk akar.
      
      
      
      
      
      
3). Merasionalkan penyebut pecahan bentuk akar
      
     
                           

c. Logaritma
1). Jika a dan b bilangan positif dengan    maka berlaku :
      
      Dari hubungan tersebut, diperoleh :
      
      
      
2). Sifat-sifat logaritma
      
      
      
      
      

a.       matrik

matrik dalam matematika merupakan kumpulan bilangan, simbol atau ekspresi berbentuk persegi panjang yang disusun menurut baris dan kolom. Bilangan-bilangan yang terdapat pada suatu matriks disebut dengan elemen atau disebut juga anggota dari suatu matriks. Contoh matriks dengan 2 baris dan 3 kolom yaitu sebagai berikut

Matriks banyak dimanfaatkan untuk menyelesaikan berbagai permasalahan matematika misalnya dalam menemukan solusi masalah persamaan linear, transformasi linear yakni bentuk umum dari fungsi linear contohnya rotasi dalam 3 dimensi. Matriks juga seperti variabel biasa, sehingga matrikspun dapat dimanipulasi misalnya dikalikan, dijumlah, dikurangkan, serta didekomposisikan. Menggunakan representasi matriks, perhitungan dapat dilakukan dengan lebih terstruktur.

adversitemens

Operasi Dasar Matriks :

1. Penjumlahan dan Pengurangan Matriks

Penjumlahan serta pengurangan dalam matriks hanya dapat dilakukan apabila kedua matriks mempunyai ukuran atau tipe yang sama. Elemen-elemen dalam suatu matriks yang dijumlahkan atau dikurangan yaitu elemen yang memilki posisi/letak  yang sama.

representasi dekoratifnya sebagai berikut

2. Perkalian Skalar

Perkalian matriks dilakukan dengan cara tiap baris dikalikan dengan tiap kolom, selanjutnya dijumlahkan pada kolom yang sama

 dan 

maka 

contoh perhitungan :

Ordo suatu matriks merupakan bilangan yang menunjukan banyaknya baris (m) dan banyaknya kolom (n). Sebagai contoh :  merupakan matriks berordo 3×2

Matriks Identitas

Matriks Identitas adalah matriks yang anggota pada diagonal utamanya selalu 1

Matriks Transpose (A^t)

Matriks transpose merupakan matriks yang mengalami pertukaran elemen dari kolom menjadi baris atau sebaliknya. Contoh :

maka matriks transposenya (A^t) adalah 

Contoh – contoh :

1. Kesamaan Dua Matriks

Tentukan nilai 2x-y+5z!

Jawab:

 maka 

 maka 

 maka 

2. 

3. Contoh Perkalian matriks dengan variabel

4. 

Determinan Suatu Matriks

Untuk menentukan determinan dari suatu matriks dapat digunakan beberapa cara :

1. Misalnya terdapat matriks  yang berordo 2×2 dalam menentukan determinan dari matrikas A yang biasa ditulis |A| adalah

2. Metode Sarrus

Misalnya terdapat  maka untuk menentukan nilai determinan dari matriks A tersebut

Ubah matriks dalam bentuk seperti diatas selanjutnya perhitungannya dengan cara menambahkan elemen dari kiri atas kekanan bawah (mulai dari a → e → i, b → f → g, dan c → d → h) kemudian dikurangi dengan elemen dari kanan atas kekiri bawah (mulai dari c → e → g, a → f → h, dan b → d → i) maka akan menjadi

Sebagai contohnya

maka tentukan 

3. Metode Ekspansi Baris dan Kolom

Jika diketahui  maka untuk menentukan determian dari matriks P

Matriks Singular

Matriks Singular yaitu matriks yang nilai determinannya 0.

Sebagai contoh

Jika A matriks singular, tentukan nilai x!

Jawab:

 vs 

Invers Matriks

Misalnya diketahui   maka invers dari matriks A

Sifat-sifat dari invers suatu matriks :

Persamaan Matriks

Tentukan X matriks dari persamaan:

·         Jika diketahui matriks A.X=B

·         Jika diketahui matriks X.A=B

Integral adalah sebuah konsep penjumlahan secara berkesinambungan dalam matematika, dan bersama dengan inversnya,diferensiasi, adalah satu dari dua operasi utama dalam kalkulus. Integral dikembangkan menyusul dikembangkannya masalah dalam diferensiasi di mana matematikawan harus berpikir bagaimana menyelesaikan masalah yang berkebalikan dengan solusi diferensiasi. Lambang integral adalah {\displaystyle \int \,}

Bila diberikan suatu fungsi f dari variabel real x dengan interval [a, b] dari sebuah garis lurus, maka integral tertentu

{\displaystyle \int _{a}^{b}\!f(x)\,dx\,}

didefinisikan sebagai area yang dibatasi oleh kurva f, sumbu-x, sumbu-y dan garis vertikal x = a dan x = b, dengan area yang berada di atas sumbu-x bernilai positif dan area di bawah sumbu-x bernilai negatif.

Kata integral juga dapat digunakan untuk merujuk pada antiturunan, sebuah fungsi F yang turunannya adalah fungsi f. Pada kasus ini, maka disebut sebagai integral tak tentu dan notasinya ditulis sebagai:

{\displaystyle F=\int f(x)\,dx.}

Prinsip-prinsip dan teknik integrasi dikembangkan terpisah oleh Isaac Newton dan Gottfried Leibniz pada akhir abad ke-17. Melaluiteorema fundamental kalkulus yang mereka kembangkan masing-masing, integral terhubung dengan diferensial: jika f adalah fungsi kontinu yang terdefinisi pada sebuah interval tertutup [a, b], maka, jika antiturunan F dari f diketahui, maka integral tertentu dari f pada interval tersebut dapat didefinisikan sebagai:

{\displaystyle \int _{a}^{b}\!f(x)\,dx=F(b)-F(a)\,}

 Pengertian Limit Fungsi. Limit Fungsiyang dimaksud adalah "limit fungsi aljabar" dan "limit fungsi trigonometri" yang akan dibahas pada artikel lainnya. Dalam matematika, limit merupakan nilai hampiran suatu variabel pada suatu bilangan real. Berikut adalah notasi limit. 

Definisi/Pengertian Limit Fungsi

       Berikut definisi/pengertian dari limit fungsi :
Misalkan ff sebuah fungsi f:R→Rf:R→R dan misalkan LL dan aa bilangan real.
limx→af(x)=Llimx→af(x)=L jika dan hanya jika f(x)f(x) mendekati LL untuk semua xx mendekati aa .

Cara Membaca notasi limit fungsi :
limx→af(x)=Llimx→af(x)=L dibaca limit fungsi f(x)f(x) untuk xx mendekati aa sama dengan LL .

Penyelesaian limit fungsi

       Untuk menentukan nilai limit suatu fungsi, ada beberapa cara :
1). Metode Numerik
2). Subsitusi
3). Pemfaktoran
4). Kali sekawannya
5). Menggunakan Turunan

Pada artikel Pengertian limit fungsi ini, kita akan menggunakan metode numerik saja. Metode numerik maksudnya suatu metode penghitungan limit dengan cara substitusi dari ruas kiri dan ruas kanan dengan beberapa angka yang kita daftar dalam bentuk tabel. Hanya saja cara ini kurang efektif karena akan memakan waktu yang lebih lama untuk membuat suatu tabel.

Contoh : 
1). Tentukan nilai limit fungsi f(x)=x+1f(x)=x+1 untuk xx mendekati 2? 
Penyelesaian : 
*). Bentuk soal bisa ditulis : limx→2(x+1)=...?limx→2(x+1)=...? 
*). Dengan metode numerik, kita pilih nilai xx yang mendekati 2 dari kiri dan kanan lalu kita substitusi ke fungsi (x+1)(x+1) , hasilnya terlihat pada tabel berikut. 

*). Dari tabel di atas, terlihat bahwa dari ruas kiri 2, nilai fungsinya mendekati 2,999 . Dan dari ruas kanan 2, nilai fungsinya mendekati 3,001. Ini artinya nilai limit fungsi f(x)=x+1f(x)=x+1 untuk xx mendekati 2 adalah 3. Sehingga nilai limx→2(x+1)=3limx→2(x+1)=3 . 
*). Berikut grafik beserta nilai limitnya. 

Syarat suatu Fungsi Mempunyai Limit di titik tertentu

       Suatu limit dikatakan ada jika limit tersebut memiliki limit kiri dan limit kanan yang sama. Limit kiri adalah pendekatan nilai fungsi real dari sebelah kiri yang dinotasikan limx→a−f(x)limx→a−f(x) . Sedangkan limit kanan adalah pendekatan nilai fungsi real dari sebelah kanan yang dinotasikanlimx→a+f(x)limx→a+f(x) .
Artinya, jika nilai limx→a−f(x)=Llimx→a−f(x)=L dan limx→a+f(x)=Llimx→a+f(x)=L , maka nilai limx→a−f(x)=limx→af(x)=limx→a+f(x)=Llimx→a−f(x)=limx→af(x)=limx→a+f(x)=L atau limx→af(x)=Llimx→af(x)=L . 

Berikut deskripsi ada tidaknya limit suatu fungsi f(x)f(x) untuk xx mendekati cc . 

Dari gambar grafik di atas,
*). Gambar A : mempunyai limit karena limit kiri sama dengan limit kanan.
*). Gambar B : tidak mempunyai limit karena limit kiri tidak sama dengan limit kanan.
*). Gambar C : mempunyai limit karena limit kiri sama dengan limit kanan.
*). Gambar D : tidak mempunyai limit karena limit kiri tidak sama dengan limit kanan.

Contoh : 
2). Apakah fungsi berikut ini mempunyai limit atau tidak : 
f(x)={x2x+1jikajikax≤1x>1f(x)={x2jikax≤1x+1jikax>1 
untuk xx mendekati 1.? 
penyelesaian : 
*). Keterangan fungsi : 
Jika nilai x≤1x≤1 maka berlaku f(x)=x2f(x)=x2 
Jika nilai x>1x>1 maka berlaku f(x)=x+1f(x)=x+1 
*). Tabel pendekatan dari kiri dan dari kanan untuk xx mendekati 1. 

*). Analisa hasil limit kiri dan limit kanan dari tabel. 
Limit Kiri : dari kiri mendekati satu, nilai limitnya mendekati 0,998 = 1 atau limx→1−f(x)=1limx→1−f(x)=1 
Limit Kanan : dari kanan mendekati satu, nilai limitnya mendekati 2,001 = 2 atau limx→1+f(x)=2limx→1+f(x)=2 
Karnena nilai limit kiri dan kananya tidak sama, maka fungsi f(x)={x2x+1jikajikax≤1x>1f(x)={x2jikax≤1x+1jikax>1 untuk xxmendekati 1 tidak mempunyai limit. 
*). Grafik fungsi f(x)f(x) untuk xx mendekati 1. 

Jadi, fungsi f(x)={x2x+1jikajikax≤1x>1f(x)={x2jikax≤1x+1jikax>1 untuk xx mendekati 1 tidak mempunyai limit.

Dikutip dari berbagai artikel

Dikutip dari berbagai artikel